Spis treści
1. Elementy logiki i teorii mnogości ................................................................ 9
1.1. Rachunek zdań, funkcje zdaniowe, kwantyfikatory .................................. 9
1.2. Tautologie, reguły dowodzenia, wnioskowanie ........................................ 17
1.3. Algebra zbiorów..................................................................................... 25
1.4. Iloczyny kartezjańskie i relacje................................................................. 41
2. Liczby zespolone .......................................................................................... 55
2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych ...................................................... 55
2.2. Postać trygonometryczna liczb zespolonych .............................................. 68
3. Algebra liniowa ........................................................................................... 92
3.1. Przestrzenie liniowe ................................................................................ 92
3.2. Baza i wymiar przestrzeni liniowych ........................................................ 97
3.3. Przestrzenie euklidesowe ........................................................................ 101
3.4. Przestrzenie metryczne ........................................................................... 104
4. Rachunek macierzowy ................................................................................. 114
4.1. Rodzaje macierzy ................................................................................... 114
4.2. Działania na macierzach ......................................................................... 114
4.3. Wyznacznik macierzy .............................................................................. 118
4.4. Macierze odwrotne ................................................................................ 123
4.5. Rząd macierzy........................................................................................ 129
5. Układ równań liniowych ............................................................................. 135
5.1. Układy równań liniowych i ich rozwiązania ............................................. 135
5.2. Jednorodne układy równań liniowych ....................................................... 139
5.3. Metody rozwiązywania układów równań liniowych ................................. 141
6. Formy liniowe, dwuliniowe i kwadratowe ................................................. 165
6
7. Wektory własne i wartości własne macierzy ............................................... 174
8. Podstawy analizy matematycznej w zakresie funkcji jednej zmiennej ........ 182
8.1. Granice funkcji ..................................................................................... 182
8.2. Ciągłość funkcji ..................................................................................... 189
9. Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej .......................................... 193
9.1. Pochodne funkcji .................................................................................. 193
9.2. Różniczki funkcji ................................................................................... 200
9.3. Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego ................................. 202
9.4. Zastosowanie rachunku różniczkowego do badania
przebiegu zmienności funkcji ................................................................. 211
9.5. Wybrane charakterystyki zmienności funkcji ............................................ 220
10. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej................................................ 223
10.1. Całka nieoznaczona ............................................................................... 223
10.2. Całka oznaczona ................................................................................... 232
10.3. Całki niewłaściwe ................................................................................. 236
10.4. Całka jako funkcja granicy całkowania .................................................... 240
10.5. Całka Stieltjesa ...................................................................................... 241
11. Szeregi ....................................................................................................... 246
11.1. Szeregi liczbowe ................................................................................... 246
11.2. Ciągi i szeregi funkcyjne ......................................................................... 255
11.3. Szeregi potęgowe .................................................................................. 262
12. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych ....................................... 265
12.1. Dziedzina funkcji wielu zmiennych. Granica i ciągłość funkcji
wielu zmiennych .................................................................................. 265
12.2. Pochodne funkcji wielu zmiennych ........................................................ 269
12.3. Różniczki funkcji wielu zmiennych ......................................................... 275
12.4. Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego funkcji
wielu zmiennych .................................................................................. 278
12.5. Ekstrema funkcji wielu zmiennych.......................................................... 282
12.6. Pochodne kierunkowe funkcji wielu zmiennych ...................................... 291
12.7. Różniczkowanie funkcji wektorowych wielu zmiennych ........................... 294
12.8. Różniczkowanie form liniowych, dwuliniowych i kwadratowych .............. 297
7
13. Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych (całki wielokrotne) ................ 299
13.1. Całki podwójne .................................................................................... 299
13.2. Całki potrójne ...................................................................................... 304
13.3. Całki wielokrotne jako funkcje granic całkowania ................................... 307
14. Równania różniczkowe .............................................................................. 311
14.1. Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych ................................ 311
14.2. Równania różniczkowe jednorodne. Metoda podstawiania ..................... 314
14.3. Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego .................................. 317
14.3.1. Równania różniczkowe liniowe jednorodne względem y i 􀯗􀯬
􀯗􀯫 ....... 317
14.3.2. Równania różniczkowe liniowe niejednorodne. Metoda
uzmienniania stałej ................................................................... 318
14.3.3. Równania różniczkowe liniowe niejednorodne. Metoda
przewidywań ............................................................................ 320
14.4. Równania Bernoulliego ........................................................................ 323
14.5. Równania Clairauta i Lagrange’a ........................................................... 325
14.6. Równania Riccatiego ............................................................................ 327
14.7. Równania zupełne ............................................................................... 328
14.8. Równania drugiego rzędu sprowadzalne do równań rzędu pierwszego .... 329
14.9. Równania liniowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach ................. 331
14.10. Równania liniowe Eulera ..................................................................... 333
14.11. Równania wyższych rzędów ................................................................. 334
15. Rachunek prawdopodobieństwa ................................................................ 336
15.1. Elementy kombinatoryki ....................................................................... 336
15.2. Prawdopodobieństwo .......................................................................... 342
15.3. Zmienna losowa skokowa .................................................................... 352
15.4. Wybrane rozkłady dyskretne ................................................................. 357
15.5. Zmienna losowa ciągła ......................................................................... 364
15.6. Wybrane rozkłady ciągłe ....................................................................... 369
15.7. Twierdzenie graniczne .......................................................................... 374
Literatura ......................................................................................................... 381